2：完全开放的探索
备课研讨时，教师们认为教材提供的素材中CD垂直台球桌边是很牵强的，但是，如果没有这条垂线，要完成互余的教学又是很难的?庇谑牵?把“台球桌面上的角”改为“光线反射中的角”．一方面，在自然科学课中，学生已学过光的反射，已经知道“法线”的概念，能够自然地建立起符合教材的数学模型；另一方面，可以利用自然科学实验器材演示光的反射，并改变光的入射角，又利于学生通过比较入射角不同情况下，发现什么关系不变，什么关系改变了，便于学生探索发现互补、互余的关系．于是，有如下教学片断：
教师先演示实验光的反射，之后，得到如下左图，然后通过提问“法线”，演变为如下右图。
进而，教师提出以下2个问题，请同学们分组探索解决.
①如上右图中，有那些角？②这些角与∠1有什么关系？
学生对第①问题的回答比较一致，对第②个问题的回答，百花齐放，出乎教师的意料，
学生的回答整理如下：
生1：∠1=∠2
生2：∠1比∠ADC小
生3：∠1+∠ADC+∠CDB+∠2=180°
生4：∠EDC-∠1=∠ADC
生5：∠1=∠FDC-∠ADC
生6：∠1+∠ADF=180°
生7：∠ADB是钝角，∠1是锐角，∠ADB＞∠1
生8：∠CDE＞∠1
生9：∠1比∠CDB小…
生10：∠1是∠1与∠2的和的一半
生11：∠1比∠CDF小
生12：∠1比其它的角都小，∠2除外
……
学生的回答，受到先前学生回答的诱导，越来越朝着与∠1的大小关系方向发展，却没有人发现与∠1的和为90°的角，这出乎教师备课时的估计?庇谑牵?教师设法从生４的回答中启发学生得到∠1＋∠ADC＝90°.
接着,教师按照事先设计的方案，改变入射光线的角度,使得∠1变为大于45°的角.再次让学生观察,回答第②个问题,并与第一次回答做对比可以发现哪些关系发生了改变？哪些关系没有改变？结果得出下列结论：一部分大小关系不成立了，和为90°，180°的关系不变，还有其它等量关系式如∠1=∠ADB-∠ADC，仍然成立。进而归纳互余，互补的概念。稍作练习后，下课铃就响了.
片断3：恰当引导有效探索
教材的课题是《台球桌面上的角》，怎样改造使CD垂直台球桌边的牵强为自然一些呢？教师们提出如下教学设计，先去掉CD，学习互补；再从互补迁移到互余?庇谑牵?有如下的教学片断：
教师演示多媒体，让学生观察打台球，得到如下图：
进而，提出以下3个问题，也让同学们分组探索解决.
①图中有哪些角？
②这些角与∠1有什么关系，用你们自己喜欢的方式探索，并给予适当的分类．
③改变打台球的角度，图中的角有什么变化？他们与∠1的关系有什么变化？同②比较，哪些关系改变了？哪些关系没有改变？
对于问题①的回答，学生的答案是一致的
对于问题②的回答，由于图形简单了，只有５个小于平角的角，可能性不像片断２那样多而复杂.学生小组合作交流后的回答是：
组１的回答：有三类.
第一类，大小关系，如∠1＜∠ADB，∠1＜∠EDB，……
第二类，相等关系，如∠1=∠2；
第三类，和差等量关系，如∠1+∠ADB=∠ADE，∠1+∠ADF=180°
组2的回答：可以分为四类，组1的第三类可再分为两类，一类是和为定值180°，另一类是和差不为定值的.
对于第③个问题的研究后,学生发现并认识到,第一类的大小关系中有一部分会发生变化.而第二、三、四类的等量关系不变，进而，形成互补的概念，为了巩固互补，再从图中找出一对互补?痹诖嘶?础上，再引导学生探索互余关系．
从课堂学生反映看，片断3的教学效果好，学生的探索真正按组进行。从练习看，找互余、互补角的正确率远远高于片断1的效果
【案例反思】
１.用新教材是新课程课堂教学的基本特征
长期以来视教材为圣经，教材写什么，老师就教什么，考试就考什么，是传统教学的普遍现象，而新课程的教材反复指出：数学教材应当是学生数学学习的基本素材，她为学生的数学学习活动提供了基本线索，基本内容和主要的数学活动机会?倍匝?生而言，教材是他们从事数学活动的出发点，而不是“终极目标”。“各个角与∠1有什么关系？”是教材中的问题，实际教学中，如果仅仅停留在观察层面，也未尝不可；但是从探索角度，显然不是一个好问题.于是学什么，怎样学，对课本提供的教学素材、活动题材、活动过程、活动方式以及活动目标的确定等，教师都应结合学生的实际再创造.
２.用活教材要从学生的三个基本点出发
片断１的教师十分忠实教材，但忽视了让学生真正自主探索“互余”、“互补”概念的过程，缺乏对比、理解，学生的感悟不深，以至于学生认为∠1+∠ADC就是互余，对学生的认知水平发展把握不恰当.片断２的执教者，大胆有力地处理了教材，改用光反射的角，更切合学生的实际，有利于课程的整合，是大胆灵活的设计.可惜，对学生视觉、观察、思维发展的把握不够，所提出的问题过于宽泛，使得教师难以驾驭课堂的发展．当然，学生经历数学活动的过程是深刻的，形成的概念是清晰的。毕竟一节课45分钟，还需完成更多的教学任务，仅仅完成探索“互余”、“互补”的概念是不够的.要解决好新课标课堂教学中常常出现的“放开”与“完成教学任务”的矛盾，要求教师在处理教学素材，设计活动内容，活动方式时要立足于三个基本点：学生的生活体验，学生已有的认知水平，学生的心理发展与需求
３.观察≠探索，观察经常是探索的一个步骤
3个片断中都有要求学生探索解决各个角与∠1的关系，这不是探索.通过观察得出各种各样的关系，仅仅是为探索作好素材的准备.于是，片断1的探索不是真探索，学生并没有经历探索的过程．
４.有恰当问题引导的探索是有效的
片断1的探索问题仅仅是学生的观察，停留在宽泛的、混乱的、浅层的表面上，没有给予在混乱中寻找有序的方法，互余概念的建立并没有经过学生灵魂深处的对比，所得到的仅仅是老师言语、书本文字的诵读与记忆以及含糊状态下的练习.而片断2、3能成为真正的探索的根本在于老师给出了恰当的引导，尤其是片断3中，取消CD，先学互补的处理方法，将图中的角由9个减少到5个，使得第②题中，各个角与∠1有关系减少了许多，达到了减少表面混乱的目的，在第②题中追加“分类”的引导，又追加第③题的“对比”，让学生体验了用什么方法探索，明确了我们要研究的是众多关系中始终不变、且为定值的关系：两角和为180°（或90°）．可见，这样的探索是真探索、有过程的探索，是深刻的探索、有效的探索。
